Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)是，曲線的方程為；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率是的直線經(jīng)過點(diǎn)．

（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求證直線和曲線相交于兩點(diǎn)、，并求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）3

【解析】分析：（1）由題意得到直線的參數(shù)方程即可，根據(jù)轉(zhuǎn)化公式可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解可得結(jié)論．

詳解：（1）∵點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，直線傾斜角是，

∴直線參數(shù)方程是，即，

∴直線的參數(shù)方程為．

由得，，

∴，

將代入上式得，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）將代入，整理得，

∵，

∴ 直線的和曲線相交于兩點(diǎn)、，

設(shè)點(diǎn)、對應(yīng)的參數(shù)分別為，

則，

∴ ．