Question

【題目】函數f（x）=ka﹣x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）= 是奇函數，求b的值；
（3）在（2）的條件下判斷函數g（x）的單調性，并用定義證明你的結論；
（4）解不等式g（3x）+g（x﹣3﹣x2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A（0，1），B（3，8）代入函數解析式，得 ，

解得k=1，a= ，

∴f（x）=2x

（2）解：g（x）= = ，

若g（x）是奇函數，

則g（﹣x）=﹣g（x），

即 =﹣ ，

即 = ，

即1+b2x=2x+b，

則b=1

（3）解：∵b=1，

∴g（x）= = =1+ ，

要使原來函數有意義，必須滿足2x﹣1≠0，即x≠0

∴函數的定義域為{x|x≠0}；

設x1＜x2＜0，

則g（x1）﹣g（x2）=1+ ﹣1﹣ = ﹣ =

= ，

∵x1＜x2＜0，

∴ ＜ ＜1，即 ﹣ ＞0．

﹣1＜0， ﹣1＜0，

則 ＞0，

即g（x1）﹣g（x2）＞0，則g（x）＞g（x2），即此時函數單調遞減，

同理當x＞0時，函數g（x）為單調遞減函數

（4）解：∵g（x）= = =1+ ，

∴當x＞0時，g（x）＞0，

當x＜0時，g（x）＜0，

不等式g（3x）+g（x﹣3﹣x2）＜0．

等價為不等式g（3x）＜﹣g（x﹣3﹣x2）=g（x2﹣x+3），

∵x2﹣x+3=（x﹣ ）2+ ＞0，

∴g（x2﹣x+3）＞0，

若3x＜0，則x＜0時，g（3x）＜0，則不等式成立，

若3x＞0，即x＞0時，

∵g（x）在（0，+∞）上為減函數，

∴3x＞x2﹣x+3，

即x2﹣4x+3＜0，

解得1＜x＜3，

綜上不等式的解為1＜x＜3或x＜0，

即不等式的解集為（1，3）∪（﹣∞，0）

【解析】（1）將A（0，1），B（3，8）代入函數解析式，得到關于k和a的方程，解方程即可得k和a的值，最后寫出解析式即可．（2）根據函數奇偶性的定義進行求解．（3）根據函數單調性的定義進行證明．（4）結合函數奇偶性和單調性之間的關系進行求解即可．