Question

過雙曲線

y2

3

-x2=1的上支上一點P作雙曲線的切線分別交兩條漸近線于點A，B．（1）求證：

OA

•

OB

為定值．（2）若

OB

=

AM

，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，y₀）是雙曲線上任一點，先求曲線在P點處的切線方程，再將切線方程與兩條漸近線聯立即可解得A、B的坐標，從而證明

OA

•

OB

為定值；（2）設動點M（x，y），由

OB

=

AM

，得

OM

=

OA

+

OB

，將向量坐標代入即可得M點坐標與P點坐標間的關系，代入點P的軌跡即可得動點M的軌跡方程．

解答：解．（1）∵雙曲線

y2

3

-x2=1的上支可表示為函數y=

3+3x2

，且y′=

1

2

×

6x

3+3x2

=

3x

3+3x2

設P（x₀，y₀）是雙曲線上任一點，則雙曲線在該點處的切線為y-y₀=

3x 0

3+3x 02

（x-x₀）
即y-y₀=

3x 0

y0

（x-x₀），即y₀y-3x₀x=3，
與漸近線方程y=

3

x聯立，解得A(

3

y0- 3 x0

，

3

y0- 3 x0

)（由于P不在雙曲線的漸近線上，故y0±

3

x0≠0）；
與漸近線y=-

3

x聯立，解得B(

- 3

y0+ 3 x0

，

3

y0+ 3 x0

)，
∴

OA

•

OB

=

-3

y 2 0 -3 x 2 0

+

9

y 2 0 -3 x 2 0

=

-3

3

+

9

3

=2（定值）
（2）設M（x，y）為所求軌跡上一點，由

OB

=

AM

知

OM

=

OA

+

OB

，由（1）有

x= 3 y0- 3 x0 + - 3 y0+ 3 x0 y= 3 y0- 3 x0 + 3 y0+ 3 x0

即

x0= x 2 y0= y 2

再由P（x₀，y₀）在雙曲線

y2

3

-x2=1 （y＞0）上
∴

y 2 0

3

-

x

2 0

=1，
∴

y2 4

3

-

x2

4

=1
故所求軌跡為

y2

12

-

x2

4

=1(y＞0)．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其幾何意義，切線方程的求法，代入法求動點的軌跡方程