Question

在4×4的方格中，每個格子都填入1、2、3、4四個數字之一，要求每行、每列都沒有重復數字，不同的填法共有（　　）

A．24種

B．144種

C．432種

D．576種

Answer 1

根據題意，第一行有4格，分別填入1、2、3、4四個數字，有A₄⁴=24種填法，
然后對第2行排列，此時有了限制條件，即每列不能與第1行的數重復，這相當于4個元素的全錯位排列，有9種方法（可以用窮舉法窮舉）再對第3行排列，用窮舉法：假①設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“4 3 2 1“，
則第3行有“2 1 4 3”、“2 4 1 3“、“3 1 4 2“、“3 4 1 2”4種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
②設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“2 1 4 3”，
則第3行有“34 1 2”、“3 42 1“、“431 2“、“432 1“4種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
③設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“2 34 1“，
則第3行有“341 2”、“412 3”2種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
④設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“241 3“，
則第3行有“3 1 4 2”2“432 1”2種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
⑤設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“314 2“，
則第3行有“241 3”、“432 1”；4+2+22種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
⑥設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“341 2“，
則第3行有“23 4 1”、“2 1 4 3“、“4 12 3“、“432 1”；4種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
⑦設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“34 2 1“，
則第3行有“2 1 4 3”、“43 1 2”、2種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
⑧第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“41 2 3“，
則第3行有“231 2”、“3 4 1 2”； 2種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
⑨設第1行為“1 2 3 4”，
第2行為“4 31 2“，
則第3行有“2 1 4 3”、“3 42 1”；2種如果第1、2、3行確定好了，那么第4行也確定好了，不再考慮，
綜上，第二、三、四行的方法數有：4+4+2+2+2+4+2+2+2=24，
所以不同的填法有24×24=576種．
故選D．