Question

在直角坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足.
（1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程；
（2）過點Q(－2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點，且以為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）軌跡C的方程為
（2）存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為

（1）設M(x，y)是所求曲線上的任意一點，P（x₁，y₁）是方程x² +y² =4的圓上的任意一點，則
則有：得，
軌跡C的方程為 
（1）當直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點.
所以設直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點，N點所在直線方程為
由
由△=
即 …   
即，∴四邊形OANB為平行四邊形
假設存在矩形OANB，則，即，
即，
于是有   得 … 設，
即點N在直線上.
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為