Question

【題目】選修4﹣1：幾何證明選講
如圖，AB為⊙O直徑，直線CD與⊙O相切與E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，連接AE，BE．證明：

（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=ADBC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直線CD與⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）證明：∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AFFB．

∴EF2=ADCB．

【解析】（1）直線CD與⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB為⊙O的直徑，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的關系可得∠FEB=∠EAB，從而得證．（2）利用（1）的結論及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AFFB．等量代換即可．