Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）若函數f（x）在區間（a，a+ ）（a＞0）上存在極值點，求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f（x）≥ 恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）定義域為（0，+∞）， f，

由f′（x）=0x=1，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，

則f（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，

所以函數f（x）在x=1處取得唯一的極值．

由題意得 ，故所求實數a的取值范圍為

（2）解：當x≥1時，不等式 ．

令 ，由題意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．

令h（x）=x﹣lnx（x≥1），則 ，當且僅當x=1時取等號．

所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=1＞0

因此 ，則g（x）在[1，+∞）上單調遞增，g（x）min=g（1）=2

所以k≤2，即實數k的取值范圍為（﹣∞，2]．

【解析】（1）求導數，確定函數f（x）在x=1處取得極大值，根據函數在區間（a，a+ ）（a＞0）上存在極值點，可得 ，即可求實數a的取值范圍；（2）當x≥1時，分離參數，構造 ，證明g（x）在[1，+∞）上是單調遞增，所以[g（x）]min=g（1）=2，即可求實數k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．