Question

（1）用單調性定義證明：函數f(x)=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函數；
（2）求函數f(x)=x+

4

x

在[-6，-2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），設x₁＞x₂，判斷f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)，進而根據增函數的定義，判斷出函數f(x)=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函數；
（2）先判斷出函數f(x)=x+

4

x

在[-6，-2]上的單調性，進而可求出函數f(x)=x+

4

x

在[-6，-2]上的值域．

解答：證明：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），設x₁＞x₂…（2分）
則f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

…（4分）
∵x₁＞x₂≥2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，∴

x1x2-4

x1x2

＞0…（6分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂）
所以，函數f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函數…（8分）
解：（2）由（1）知，f（x）=x+

4

x

在[2，6]上是增函數…（9分）
而f(2)=4，f(6)=

20

3

，所以對任意x₀∈[2，6]，有4≤f(x0)≤

20

3

成立．…（11分）
∴-x₀∈[-6，-2]，則-

20

3

≤-f(x0)≤-4，即：-

20

3

≤f(-x0)≤-4…（14分）
函數f（x）=x+

4

x

在[-6，-2]上的值域是[-

20

3

，-4]…（15分）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數單調性的性質，熟練掌握函數單調性的證明方法及應用方法是解答的關鍵．