Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關于x的不等式f（x）＜4，結果用集合或區間表示．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函數，∴f（﹣2）=﹣f（2），即f（2）+f（﹣2）=0
（2）解：設x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=a﹣x﹣1．

由f（x）是奇函數，有f（﹣x）=﹣f（x），∵f（﹣x）=a﹣x﹣1，

∴f（x）=﹣a﹣x+1（x＜0），∴所求的解析式為

（3）解：不等式等價于 ，

即 ，即 ．

當a＞1時，有 ，∵loga5＞0，所以不等式的解集為（﹣∞，loga5）；

當0＜a＜1時，有 ，∵loga5＜0，所以不等式的解集為（﹣∞，0）．

綜上所述，當a＞1時，不等式的解集為（﹣∞，loga5）；

當0＜a＜1時，不等式的解集為（﹣∞，0）

【解析】（1）根據題意可得f（﹣2）=﹣f（2），即f（2）+f（﹣2）=0．（2）設x＜0，則﹣x＞0，根據f（﹣x）=a﹣x﹣1=﹣f（x），求得f（x）的解析式．（3）分類討論a的范圍，利用函數的單調性求得不等式f（x）＜4的解集．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．