Question

一般地，給定平面上有n個點，每兩點之間有一個距離，最大距離與最小距離的比記為λ_n，已知λ₄的最小值是

2

，λ₅的最小值是2sin

3

10

π，λ₆的最小值是

3

．試猜想λ_n（n≥4）的最小值是

2sin

n-2

2n

π

．（這就是著名的Heilbron猜想，已經被我國的數學家攻克）

Answer 1

分析：觀察、分析λ₄、λ₅、λ₆的規律，即可猜想出λ_n的表達式．

解答：解：∵λ4=

2

=2sin

π

4

，
λ5=2sin

3

10

π，
λ6=

3

=2sin

π

3

，
…
設數列{a_n}（n≥4），a4=

1

4

=

1

2

-

1

4

，a5=

3

10

=

1

2

-

1

5

，a6=

1

2

-

1

6

，…
于是可得an=

1

2

-

1

n

．
∴猜想λ_n（n≥4）的最小值是2sin(

1

2

-

1

n

)π=2sin

n-2

2n

π．
故答案為2sin

n-2

2n

π．

點評：由已知的幾個結論分析歸納猜想出其規律是解題的關鍵．此題要證明并不簡單．