Question

（2008•如東縣三模）設函數f（x）的定義域為R，若存在常數k＞0，使|f（x）|≤

k

2010

|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為“誠毅”函數．給出下列函數：
①f（x）=x²；  
②f（x）=sinx+cosx；  
③f（x）=

x

x2+x+1

；  
④f（x）=3^x+1；
其中f（x）是“誠毅”函數的序號為

③

．

Answer 1

分析：利用新定義，取x=0，考查函數

|f(x)|

|x|

的最值，即可得到結論．

解答：解：對于①，

|f(x)|

|x|

=|x|，顯然不存在常數k＞0，使得|x|≤

k

2010

，故不滿足題意；
對于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時，|f(x)|≤

k

2010

不成立，故錯誤；
對于③，

|f(x)|

|x|

=

1

x2+x+1

=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，令

k

2010

=

4

3

，則k=2680，使|f(x)|≤

k

2010

|x|對一切實數x均成立，故③正確；
對于④，f（x）=3^x+1，由于x=0時，|f(x)|≤

k

2010

不成立，故錯誤；
故答案為：③

點評：本題考查閱讀題意的能力，考查學生對新定義的理解，根據“誠毅”的定義進行判定是關鍵．