Question

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為k， 為坐標原點.
（Ⅰ）若拋物線的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）直線過點，且斜率為k，所以直線方程可設為，若焦點在直線的下方，則滿足不等式，代入求的范圍；（Ⅱ）設直線的方程為，，分別與拋物線聯立，因為直線和拋物線的一個交點坐標已知，故可利用韋達定理求出切點的坐標，再求出切線和的方程，進而聯立求交點的坐標，再求的最小值即可.
試題解析：（Ⅰ）解：拋物線的焦點為. 由題意，得直線的方程為，
令 ，得，即直線與y軸相交于點. 因為拋物線的焦點在直線的下方，
所以 ，解得 .
（Ⅱ）解：由題意，設，，，
聯立方程 消去，得， 由韋達定理，得，所以 .
同理，得的方程為，. 對函數求導，得，
所以拋物線在點處的切線斜率為，所以切線的方程為， 即. 同理，拋物線在點處的切線的方程為.聯立兩條切線的方程解得，，所以點的坐標為.  因此點在定直線上.因為點到直線的距離，所以，當且僅當點時等號成立． 由，得，驗證知符合題意.所以當時，有最小值.