Question

已知數列滿足＋＝4n－3(n∈)．
（1）若數列是等差數列，求的值；
（2）當＝2時，求數列的前n項和；
（3）若對任意n∈，都有≥5成立，求的取值范圍．

Answer 1

⑴；⑵＝(k∈Z)；⑶，，．

（1）若數列是等差數列，則＝＋(n－1)d，＝＋nd．
由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3，解得d＝2，＝．
（2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．
兩式相減，得－＝4．
所以數列是首項為，公差為4的等差數列．
數列是首項為，公差為4的等差數列．
由＋＝1，＝2，得＝－1．
所以＝(k∈Z)．①當n為奇數時，＝2n，＝2n－3．
＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋
＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．
②當n為偶數時，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝．
所以＝(k∈Z)．
（3）由（2）知，＝(k∈Z)．
①當n為奇數時，＝2n－2＋，＝2n－1－．
由≥5，得－≥＋16n－10．
令＝＋16n－10＝＋6．
當n＝1或n＝3時，＝2，所以－≥2．
解得≥2或≤－1．
②當n為偶數時，＝2n－3－，＝2n＋．
由≥5，得＋≥＋16n－12．
令＝＋16n－12＝＋4．
當n＝2時，＝4，所以＋≥4．
解得≥1或≤－4．
綜上所述，的取值范圍是，，．