Question

某學校課題組為了研究學生的數學成績與物理成績之間的關系，隨機抽取高二年級20名學生某次考試成績（滿分100分）如下表所示：

序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數學成績	95	75	80	94	92	65	67	84	98	71	67	93	64	78	77	90	57	83	72	83
物理成績	90	63	72	87	91	71	58	82	93	81	77	82	48	85	69	91	61	84	78	86

若單科成績85分以上（含85分），則該科成績為優秀．
（1）根據上表完成下面的2×2列聯表（單位：人）：

	數學成績優秀	數學成績不優秀	合   計
物理成績優秀
物理成績不優秀
合   計			20

（2）根據題（1）中表格的數據計算，有多大的把握，認為學生的數學成績與物理成績之間有關系？
參考數據：
①假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x₁，x₂}和y₁，y₂，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為：

	y1	y2	合計
x1	a	b	a+b
x2	c	d	c+d
合計	a+c	b+d	a+b+c+d

則隨機變量K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d為樣本容量；
②獨立檢驗隨機變量K²的臨界值參考表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（1）直接查取數表，然后按要求把查取的數值填入2×2列聯表；
（2）由隨機變量K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

的計算公式算出隨機變量K²的值，對照臨界值表即可得到正確答案．

解答：解：（1）2×2列聯表為（單位：人）：

	數學成績優秀	數學成績不優秀	合  計
物理成績優秀	5	2	7
物理成績不優秀	1	12	13
合  計	6	14	20

（2）提出假設H₀：學生數學成績與物理成績之間沒有關系．
根據列聯表可以求得K2=

20×(5×12-1×2)2

6×14×7×13

≈8.802＞7.879．
當H₀成立時，P（K²＞7.879）=0.005．
所以我們有99.5%的把握認為：學生的數學成績與物理成績之間有關系．
答：我們有99.5%的把握認為學生的數學成績與物理成績之間有關系．

點評：本題是一個獨立性檢驗，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統計假設，若值較大就拒絕假設，即拒絕兩個事件無關．此題是基礎題．