Question

（2012•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)f（x）的最小值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，再分別考慮導(dǎo)數(shù)大于0與小于0，分類討論即可．當(dāng)a≥0時(shí)，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；當(dāng)a＜0時(shí)，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零

解答：解：（1）a=0時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

…..（2分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)f'（x）＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）_min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

當(dāng)a≥0時(shí)，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
當(dāng)a＜0時(shí)，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范圍是(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論．