Question

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點，E是棱AA1上任意一點．

(1)證明：BD⊥EC1；

(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的長．

 

Answer 1

（1）見解析（2）3

【解析】(1)連接AC，A1C1.由底面是正方形知，BD⊥AC.

因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.

因為EC1?平面AA1C1C知，BD⊥EC1.

(2)設AA1的長為h，連結OC1.

在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，

故OE2＝()2＋()2＝4.

在Rt△EA1C1中，A1E＝h－，A1C1＝2，

故E＝(h－)2＋(2)2.

在Rt△OCC1中，OC＝，CC1＝h，O＝h2＋()2.

因為OE⊥EC1，所以OE2＋E＝O，即

4＋(h－)2＋(2)2＝h2＋()2，

解得h＝3，所以AA1的長為3.