Question

已知數列的通項公式是，數列是等差數列，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為．（1）若，，求數列的通項公式；（2）若，數列的前5項成等比數列，且，，求滿足的正整數的個數

Answer 1

解：（1）若，因為5，6，7 ，則5，6，7， 由此可見，等差數列的公差為1，而3是數列中的項， 所以3只可能是數列中的第1，2，3項，

若，則， 若，則，若，則；----------4分

 （注：寫出一個或兩個通項公式得2分，全部寫出得4分）

（2）首先對元素2進行分類討論：

 ①若2是數列的第2項，由的前5項成等比數列，得

，這顯然不可能；

②若2是數列的第3項，由的前5項成等比數列，得，因為數列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的， 所以，則，因此數列的前5項分別為1，，2，，4，這樣， 則數列的前9項分別為1，，2，，4，，，，

上述數列符合要求；---------------------------------------------------------8分

③若2是數列的第項（），則，

即數列的公差，

所以，1，2，4<，所以1，2，4在數列的

前8項中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項，

它們均小于8，即數列的前9項均小于8，這與矛盾。

綜上所述，，---------------------------------------------------------10分

其次，當時， ，

，，

  當時， ，因為是公差為的等差數列，

  所以，----------------------------------------------------------14分

所以，此時的不符合要求。所以符合要求的一共有5個。-------------------16分

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