Question

已知函數f(x)＝a－是偶函數，a為實常數.

(1)求b的值；

(2)當a＝1時，是否存在n>m>0，使得函數y＝f(x)在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由.

(3)若在函數定義域內總存在區間[m，n](m<n)，使得y＝f(x)在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍.

Answer 1

(1)由已知，可得f(x)＝a－的定義域為D＝(－∞，)∪

(，＋∞).

又y＝f(x)是偶函數，故定義域D關于原點對稱.

于是，b＝0(否則，當b≠0時，有－∈D且D，即D必不關于原點對稱).

又對任意x∈D，有f(x)＝f(－x)，可得b＝0.

因此所求實數b＝0.

(2)由(1)，可知f(x)＝a－(D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).

觀察函數f(x)＝a－的圖象，可知：f(x)在區間(0，＋∞)上是增函數，

又n>m>0，

∴y＝f(x)在區間[m，n]上是增函數.

因y＝f(x)在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n].

∴有，

即方程1－＝x，也就是2x²－2x＋1＝0有兩個不相等的正根.

∵Δ＝4－8<0，∴此方程無解.

故不存在正實數m，n滿足題意.

(3)由(1)，可知f(x)＝a－(D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).

觀察函數f(x)＝a－的圖象，

可知：f(x)在區間(0，＋∞)上是增函數，

f(x)在區間(－∞，0)上是減函數.

因y＝f(x)在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m、n同號.

①當0<m<n時，f(x)在區間[m，n]上是增函數，有，即方程x＝a－，也就是2x²－2ax＋1＝0有兩個不相等的正實數根，因此，解得a>(此時，m、n(m<n)取方程2x²－2ax＋1＝0的兩根即可).

②當m<n<0時，f(x)在區間[m，n]上是減函數，有，化簡得(m－n)a＝0，解得a＝0(此時，m、n(m<n)的取值滿足mn＝，且m<n<0即可).

綜上所述，所求實數a的取值范圍是a＝0或a>.