Question

（2013•營口二模）（幾何證明選講選做題）如圖所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3．過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D，E，則∠DAC=

30°

，線段AE的長為

3

．

Answer 1

分析：利用直徑所對的圓周角是直角、弦切角定理、切割線定理、含有30°角的直角三角形的性質及勾股定理即可得出．

解答：解：①∵∠ACB是直徑AB所對的圓周角，∴∠ACB=90°；
∵AB=6，BC=3，∴cos∠ABC=

BC

AB

=

1

2

，
∵∠ABC是銳角，∴∠ABC=60°．
由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°，
∵在Rt△ACD中，∴∠DAC=30°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=

62-32

=3

3

．
在Rt△ACD中，DC=ACcos60°=

3 3

2

，由勾股定理得AD=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

，
由切割線定理得DC²=DE•DA，
∴DE=

( 3 3 2 )2

9 2

=

3

2

，∴AE=AD-DE=

9

2

-

3

2

=3．
故答案為30°，3．

點評：熟練掌握直徑所對的圓周角是直角、弦切角定理、切割線定理、含有30°角的直角三角形的性質及勾股定理是解題的關鍵．