Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)C：的左右焦點為F₁，F₂，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，且

AM

=

3

4

AB

（1）計算橢圓的離心率e
（2）若直線l向右平移一個單位后得到l′，l′被橢圓C截得的弦長為

5

4

，則求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l方程與橢圓方程聯立，求出交點M的坐標，利用

AM

=

3

4

AB

得到e值．
（2）由（1）中求得的e值，可求出直線l方程，并化簡橢圓方程，使其只含一個參數，設l′方程，與橢圓方程聯立，用弦長公式求出l′被橢圓C截得的弦長，令其等于

5

4

，即可得到橢圓方程．

解答：解：（1）y=ex+a，∴A（-

a

e

，0），B（0，a） 
由

y=ex+a x2 a2 + y2 b2 =1

，∴

x=-c y= b2 a

∴M（-c，

b2

a

），由

AM

=

3

4

AB

，得 
（-c+

a

e

，

b2

a

）=

3

4

（

a

e

，a），即

a e -c=  3 4 a e b2 a = 3 4 a

∴e²=1-

3

4

=

1

4

，∴e=

1

2

     
（2）∵e=

1

2

，設橢圓的方程為3x²+4y²=3a²，l：y=

1

2

x-

1

2

+a
即

3x2+4y2=3a2 y= 1 2 x- 1 2 +a

消y，得4x²+（4a-2）x+a²-4a+1=0．設l交橢圓于B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

4a-2

4

，x₁x₂=

a2-4a+1

4

    
∴l=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 4

12a-3 4

=

5

4

    
∴a=

2

3

∴橢圓的方程為

x2

4 9

+

y2

1 3

=1

點評：本題主要考查了利用直線與橢圓位置關系求參數的值，注意韋達定理的應用．