Question

某公司準備推出一個新產品，打算撥出款項3萬6千元在本地的電視臺做廣告，．當地電視臺廣告部安排該公司的廣告在晚上八點前和九點后做廣告．晚八點前的廣告每秒400元，九點后的廣告每秒600元，每次播出的時間在10到60秒之間．
根據市場調查研究表明，受廣告影響的人數依賴于廣告播出的時間以及年齡層次，受廣告影響的人數總是和廣告播出的時間成正比例．廣告時每秒影響各年齡組的人數（千人）估計如表所示．

現在的要求是廣告宣傳至少要影響1500000個年輕人，2000000個中年人和2000000個老年人．該公司也估計了在第一個月內受廣告影響的人中，每10個年輕人中有1人、20個中年人中1人、50個老年人中1人將購買一件新產品＜并且假設沒有一個人第二次再買＞，則若使第一個月的銷售額最大，如何來安排廣告？

Answer 1

【答案】分析：本題是一個與現實聯系緊密的廣告策劃問題，本題涉及的變量較多，因此弄清問題的意義，確定變量并尋找變量間的關系就顯得特別重要．在分析過程中我們可以分以下幾個方面來進行考慮：（1）題目里有哪些變量，哪個是主要變量，哪個是制約變量．（2）變量之間滿足什么等量（或不等）關系．（3）如果用一個數學模型來刻畫，解答這個問題．（4）由（3）的分析計算我們能夠得到什么樣的結論．
解答：解：（1）變量情況．
主要變量：限制在10秒和60秒之間的兩次廣告時間；
制約變量：總的費用≤36000元，需影響年輕人數≥1500千人，
需影響中年人數≥2000千人，需影響老年人數≥2000千人．
（2）變量間的關系：
總的費用=（購買的時間×每秒價格）之和；
影響的人數=（購買的時間×相應年齡組每秒影響的人數）之和；
銷售額=（占影響人數的份額×對應組影響的人數）之和．
（3）建模與求解：記x、y分別表示早、晚購買的時間（秒）；
S=第一個月的銷售額（用千人表示），C=總的費用（元）；
Y、M、O分別表示年輕、中年、老年組受到廣告影響的人數（千人）．
于是有：
C=400x+600y≤3600，
Y=30x+50y≥1500，
M=100x+80y≥2000，（*）
O=50x+40y≥2000，
10≤x≤60，10≤y≤60
要求S=0.1Y+0.05M+0.02O=9x+9.8y的最大值．
符合約束條件（*）的點（x，y）在如上圖所示的六邊形區域內，
求S=9x+9.8y的最大值轉化為求直線y=9x/9.8+S/9.8的截距S/9.8的最大值．
由圖知，當此直線過圖中直線400x+600y=3600和x=60的交點A（60，20）時，
截距最大，此時Smax=9×60+9.8×20=736（千人）．
（4）結論：如上討論可知，滿意的結果是第一個月的銷售額是736000（份）
只要購買晚八叫點前60秒和九點后20秒的廣告即可．
此時，花掉了所有的預算并超過所有年齡組所要求影響的人數．
點評：現實生活中的優化問題一般有幾種不同的解法，當現實問題中出現有兩個以上變量的制約時，多用線性規劃的問題來解決，在分析問題的過程中要注意從以下幾個方面來進行考慮：（1）題目里有哪些變量，哪個是主要變量，哪個是制約變量．（2）變量之間滿足什么等量（或不等）關系．（3）如果用一個數學模型來刻畫，解答這個問題．（4）由（3）的分析計算我們能夠得到什么樣的結論．