Question

已知數列a_n是首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列，并且2a1，

1

2

a3，a2成等差數列．
（I）求q的值
（II）若數列b_n滿足b_n=a_n+n，求數列b_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）直接利用已知條件整理得到關于公比的等式，解之即可求出公比；
（II）利用求出的公比，先求出兩個數列的通項公式，再對數列{b_n}采用分組求和即可．

解答：解：（I）由條件得a₃=2a₁+a₂：
得q²=2+q，
∴q=2或q=-1（舍），
∴q=2．
（II）∵a_n=2^n-1，
∴b_n=2^n-1+n．
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（1+2¹+2²+…+2^n-1）
=

n(n+1)

2

+2ⁿ-1．

點評：本題考查等差數列與等比數列的基礎知識，考查方程思想在解決數列問題中的應用以及等差數列和等比數列的前n項和公式的應用．主要考查學生的運算能力．