Question

【題目】已知函數

（1）若，討論的單調性；

（2）若，證明：當時，

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在 上單調遞增；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）當時， ，利用導數與單調性的有關知識，可求得函數的單調區間.（2）對函數求兩次導數，利用二階導數判讀出一階導數單調遞增有唯一零點，設出這個零點，得到的單調區間和最小值.構造函數，同樣利用二階導數判斷出的單調區間，由此求得的值域.

試題解析：

（1）當時， ． ，令，得．

易知在上單調遞減， 在上單調遞增．

（2）證明： ， .

當時， ，故，故單調遞增．

又，

故存在唯一的，使得，即，

且當時， ，故單調遞減，

當時， ，故單調遞增．

故．

因為是方程的根，故．

故．

令， ， ．

故在(0，1)上單調遞減，故g，

故在(0，1)上單調遞減，∴，故．