Question

已知正數x、y滿足xy=x+y+3．
（1）求xy的范圍；
（2）求x+y的范圍．

Answer 1

（1）∵正數x、y滿足x+y+3=xy，
∴xy=x+y+3≥3+2

xy

，即xy-2

xy

-3≥0，可以變形為（

xy

-3）（

xy

+1）≥0，
∴

xy

≥3，即xy≥9，
當且僅當x=y=3時取等號，
∴xy的范圍是[9，+∞）；
（2）∵x、y均為正數，
∴x+y≥2

xy

，則xy≤(

x+y

2

)2，
∴x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，即（x+y）²-4（x+y）-12≥0，
化簡可得，（x+y+2）（x+y-6）≥0，
∴x+y≥6，
當且僅當x=y=3時取等號，
∴x+y的范圍是[6，+∞）．