Question

【題目】已知函數y=x+有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．

（1）已知（x）=，x∈[0，1]利用上述性質，求函數f（x）的值域；

（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x）=-x+2a．若對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）[-4,-3]；（2）．

【解析】

（1）f（x）（2x+1），利用換元法，結合基本不等式即可求解；

（2）任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求解g（x）的值域M和f（x）的值域N，可得NM，即可求解實數a的值．

（1）f（x）（2x+1），

令u＝2x+1，因為x∈[0，1]，所以u∈[1，3]，

可得f（x）轉化為h（u）＝u，u∈[1，3]，

由已知條件所給出的性質得，當u∈[1，2]，時，h（u）遞減；當u∈[2，3]時，h（u）遞增．

所以h（2）≤h（u）≤h（1）＝h（3）

得f（x）的值域是[﹣4，﹣3]；

（2）函數g（x）＝﹣x+2a．為減函數，故當x∈[0，1]時，g（x）的值域[﹣1+2a，2a]，

對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立f（x）的值域是g（x）的值域的子集，

即[﹣4，﹣3][﹣1+2a，2a]，

則，

解得：a．