Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足

(Ⅰ)求實數(shù)、的值；

（Ⅱ）試證明函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；

（Ⅲ）是否存在實數(shù)同時滿足以下兩個條件：①不等式對恒成立；

②方程在上有解．若存在，試求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ) 由得，解得．  ………………1分

由為奇函數(shù)，得對恒成立，

即，所以．  ………………3分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，．

任取，且，

，  …………………5分

∵，∴，，，

∴，

所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減．  ……………7分

類似地，可證在區(qū)間單調(diào)遞增．  ……………8分

（Ⅲ）對于條件①：由（Ⅱ）可知函數(shù)在上有最小值

故若對恒成立，則需，則，

……………10分

對于條件②：由（Ⅱ）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，所以函數(shù)在上的值域為

若方程在有解，則需．……12分

若同時滿足條件①②，則需，所以 

答：當(dāng)時，條件①②同時滿足．……………14分

 

【解析】略