Question

在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，．過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，．記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點T的坐標為（x，y），點M的坐標為（x'，y'），進而可知點M₁的坐標，進而根據表示出點N的坐標和N₁的坐標，進而表示出，進而代入求得x和x'的關系，y和y'的關系，代入中求得x和y的關系，曲線C的方程可得，判斷出曲線C是橢圓．
（2）當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點，所以直線l斜率存在，并設為k．直線l的方程為y=k（x-5），直線方程與橢圓方程聯立消去y根據判別式大于0求得k的范圍，設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為R（x，y），進而根據韋達定理表示出x₁+x₂，進而求得R的坐標，根據|BP|=|BQ|推斷BR⊥l，進而可知k•k_BR=-1，進而建立等式整理得20k²=20k²-4，結論不可能成立，進而判斷不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．
解答：解：（Ⅰ）設點T的坐標為（x，y），點M的坐標為（x'，y'），則M₁的坐標為（0，y'），，于是點N的坐標為，N₁的坐標
為，所以
由
由此得
由，
即所求的方程表示的曲線C是橢圓．
（Ⅱ）點A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C
無交點，所以直線l斜率存在，并設為k．直線l的方程為y=k（x-5）．
由方程組
依題意
當時，設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為R（x，y），
則∴
又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k•k_BR=-1，
，
而20k²=20k²-4不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．當涉及直線與圓錐曲線的位置關系時，常需要把直線方程與圓錐曲線的方程聯立，借助韋達定理求得答案．