Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C：(.

（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；

（2）在（1）的條件下，設過定點的直線與橢圓C交于不同的兩點，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率k的取值范圍;

（3）如圖，過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點，設原點到四邊形一邊的距離為，試求時滿足的條件.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1） ……2分

（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：

由得.

,……4分

（1）

又

由 ∴所以（2）由（1）（2）得。……6分

（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等。

當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，……

當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由，得……(1)，同理……(2) ……8分

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化簡得， ，即。

綜上，d=1時a,b滿足條件……12分

考點：橢圓方程及性質，直線與橢圓相交問題

點評：直線與橢圓相交聯立方程利用韋達定理設而不求是常用的思路，第二問中將夾角是銳角時轉化為向量數量積小于零，從而可用點的坐標表示，