Question

對于正整數n，數列a₁，a₂，…，a_k在滿足下列條件下稱為關于（1，2，3，…，n）的萬能數列：自然數1，2，3，…，n的任意一個排列都能從數列a₁，a₂，…，a_k中去掉一些項后得到．
（1）構造一個有n²項的關于（1，2，3，…，n）的萬能數列的例子，并證明；
（2）構造一個有n²-n+1個項的關于（1，2，3，…，n）的萬能數列的例子并證明；
（3）判斷數列A：是否是關于（1，2，3，…，n）的萬能數列，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1） …3分
顯然在上述數列中，對于1，2，3，…，n的任意一個排列的第k個位置上的數字，總能在該數列的第k段中找到…4分
（2）…6分
把1，2，3，…，n的一個排列，由左到右構成的數列記作{b_k}
①若該排列中不存在數字b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1），則b₁＞b₂＞…＞b_n
顯然這個排列在上述數列中可以找到…7分
②若該排列中存在b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1，則在上述數列中的第i組留下b_i，b_i+1，其余的都去掉，其余的各組留下排列中相應的數就可以得到這一排列
綜上討論可得該數列為1，2，3，…，n的萬能數列．…9分
（3）數列A是萬能數列
由（2）的證明可知，數列A中從首相之后到倒數第二項之前的這些項，是一個關于（1，2，3，…，n-1）的萬能數列
所以以n為首項或末項的任何一個排列都可以從數列A中劃去一些項而得到
設a₁，a₂，…，a_r，a_r+1，…，a_n是關于自然數1，2，3，…，n的一個排列，且a_r=n，1＜r＜n
把數列A中第r個n之前和之后的所有n都劃掉，則在含第r個n之前的數為

因為a₁，a₂，…，a_r-1中最小一項的最大值為n-r+1，
所以由（2）證明可得在上面這組數①中劃掉一些項可得a₁，a₂，…，a_r-1
在含第r個n之后的數為
由（2）證明可得，若a_r+1，a_r+2，…，a_n中最小值為1，2，顯然a_r+1，a_r+2，…，a_n可以通過劃掉一些項得到．
若a_r+1，a_r+2，…，a_n中最小值為大于2，此時a_r+1，a_r+2，…，a_n中最大的數的最小值為n-r+2，
所以由（2）證明可得在上面一組數②中劃掉一些項可得a_r+1，a_r+2，…，a_n．
所以數列A是關于（1，2，3，…，n）的萬能數列．
分析：（1）舉出數列，利用有關萬能數列的定義加以證明．
（2）舉出數列，分該排列中不存在數字b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1）和該排列中存在b_i，b_i+1滿足 b_i＜b_i+1（1≤i＜n-1兩類，利用萬能數列的定義加以證明．
（3）利用能數列的定義結合（2）的證明判斷出數列為萬能數列，再利用萬能數列的定義加以證明．
點評：本題考查對題中的新定義進行理解，是一道新定義題，這種題型是近幾年常考的題型．