Question

設P、Q是單位正方體AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．如圖：
（1）證明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）求線段PQ的長．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中點M，AA₁ 的中點為N，可證QMNP為平行四邊形，故 PQ∥MN，可得PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）在Rt△A₁MN 中，由勾股定理可得 MN 的長度，即為PQ 的長度．

解答：（1）證明：取A₁B₁的中點M，AA₁的中點為N，由單位正方體的性質有QM∥A₁D₁ ，QM=

1

2

A₁D₁．
同理可證PN∥A₁D₁ ，PN=

1

2

A₁D₁．故QM和PN平行且相等，故QMNP為平行四邊形，∴PQ∥MN．
而MN?平面AA₁B₁B，PQ不在平面AA₁B₁B 內，故PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）在Rt△A₁MN 中，由勾股定理可得MN=

A1N2+A1M2

=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴PQ=

2

2

．

點評：本題考查證明線面平行的方法，求線段的長度，構造平行四邊形QMNP 是解題的關鍵．