Question

在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B在直線l：x=-1上運動，過點B與l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點M．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）過（1）中的軌跡E上的定點P（x₀，y₀）（y₀＞0）作兩條直線分別與軌跡E相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）兩點．試探究：當直線PC，PD的斜率存在且傾斜角互補時，直線CD的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點M的坐標為（x，y），由題設知，|MB|=|MA|．根據拋物線的定義可知點M的軌跡為拋物線，根據焦點和準線方程，則可得拋物線方程；
（2）設出PC，PD的方程，代入拋物線方程，求出C，D的縱坐標，表示出直線CD的斜率，即可得出結論．

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），由題設知，|MB|=|MA|．
所以動點M的軌跡E是以A（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，
所以其方程為y²=2x；
（2）由題意，設PC：x=my+b，代入（x₀，y₀），可得b=x₀-my₀，所以x=my+x₀-my₀，代入y²=2x，可得y²=2（my+x₀-my₀），即y²-2my-2x₀+2my₀=0，
∴y₀+y₁=2m，∴y₁=2m-y₀，
同理，設PD：x=-my+n，代入（x₀，y₀），可得n=x₀+my₀，所以x=-my+x₀+my₀，代入y²=2x，可得y²=2（-my+x₀+my₀），即y²+2my-2x₀-2my₀=0，
∴y₀+y₂=2m，∴y₂=-2m-y₀，
又k_CD=

y2-y1

x2-x1

=

2

y1+y2

=

2

2m-y0-2m-y0

=-

1

y0

，∴直線CD的斜率是定值．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程和直線與拋物線的關系，考查學生的計算能力，正確設出直線的方程是關鍵．