Question

已知函數f（x）=a^x-2，（a＞0且a≠1）．
（1）求y=f（x）的反函數y=f^-1（x）；
（2）解關于x的不等式f^-1（x）＞log_a（x²）．

Answer 1

分析：（1）設y=f（x）=a^x-2，先反解x，再將x，y互換，即可得函數的反函數；
（2）f^-1（x）＞log_a（x²）等價于loga(x+2)＞loga(x2)．分a＞1與0＜a＜1分類討論，即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）設y=f（x）=a^x-2，
∴a^x=y+2
∴x=log_a（y+2）
∴y=f^-1（x）=log_a（x+2），（a＞0且a≠1）；
（2）f^-1（x）＞log_a（x²）等價于loga(x+2)＞loga(x2)．
當a＞1時，

x+2＞0 x2＞0 x+2＞x2

，∴-1＜x＜0或0＜x＜2；
當0＜a＜1時，

x+2＞0 x2＞0 x+2＜x2

，∴-2＜x＜-1或x＞2
∴a＞1時，原不等式的解集為（-1，0）∪（0，2）
0＜a＜1時，原不等式的解集為（-2，-1）∪（2，+∞）

點評：本題的考點是反函數，考查反函數的求法，考查解對數不等式，解題的關鍵是分類討論，將對數不等式轉化為不等式組．