Question

設函數，若在點處的切線斜率為．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）設，若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）實數的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設函數，若在點處的切線斜率為，用表示，與函數的切線有關，可考慮利用導數來解，對求導，利用，即可得出；（Ⅱ）若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍，即，這樣轉化為求的最大值，由于含有對數函數，可考慮利用導數來求的最大值，求導得，含有參數，需對參數進行分類討論，分別求出最大值，驗證是否符合題意，從而確定實數的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ），依題意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

由恒成立，即．  

，

①當時，，，，單調遞減，當，， 單調遞增，則，不符題意；

②當時，，

（1）若，，，，單調遞減；當，， 單調遞增，則，不符題意；

（2）若，若，，，，單調遞減，

這時，不符題意；

若，，，，單調遞減，這時，不符題意；

若，，，，單調遞增；當，， 單調遞減，則，符合題意；

綜上，得恒成立，實數的取值范圍為．

考點：導數的幾何意義，導數與單調性，導數與最值，分類討論．