Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2

3

，右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足

DA

=λ

DB

，若λ∈[

3

8

，

1

2

]，求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由短軸長為2

3

求出b，再由右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合c，從而得到長半半軸長a，寫出橢圓的標準方程．
（2）先AB的方程y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量坐標公式利用函數的單調性即可求得直線AB的斜率的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）由已知b=

3

，c=1，a=2，所以橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）

DA

=λ

DB

，D，A，B三點共線，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），
與橢圓的方

x2

4

+

y2

3

=1聯立得（3+4k²）y²-24ky+36k²=0
△＞0，k²＜

1

4

．（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁+y₂=

24k

3+4k 2

，y₁y₂=

36k 2

3+4k 2

①
又

DA

=λ

DB

得：（x₁+4，y₁）=λ（x₂+4，y₂），y₁=λy₂②．
將②式代入①式，消去y₂得：

16

3+4k 2

=

(1+λ) 2

λ

=

1

λ

+λ+2（9分）
當λ∈[

3

8

，

1

2

]，時，h(λ)=

1

λ

+λ+2是減函數
∴

9

2

≤ 

16

3+4k 2

≤

121

24

，
解得[-

5

6

，-

21

22

]∪[

21

22

，

5

6

]
∴直線AB的斜率的取值范圍是[-

5

6

，-

21

22

]∪[

21

22

，

5

6

]（12分）

點評：本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量的運算等．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，突出考查了數形結合、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．