Question

設直線l（斜率存在）交拋物線y²=2px（p＞0，且p是常數）于兩個不同點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標原點，且滿足=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直線l的斜率與p之間的關系；
（2）求證：直線l過定點；
（3）設（1）中的定點為P，若點M在射線PA上，滿足，求點M的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設直線l的方程為y=kx+b，由，得ky²-2py+2pb=0，
由題知k≠0，△=4p²-8kpb＞0，且．
又y₁+y₂=-1，∴k=-2p．
∴直線l的斜率k與p之間的關系為k=-p．

（2）由（1），有，
又+2（y₁+y₂），
∴y₁y₂=2（y₁+y₂）．則，得b=2．
∴直線l的方程為y=kx+2．
∴直線l過定點（0，2）．
（3）分別過點A、M、B向y軸作垂線，垂足分別為A′，M′，B′，
設M（x，y），由，
可得．
∴，∴．
∴==，
∴，∴，
∵△=4p²-16kp＞0，∴1＜y＜3，y≠2．
∵y=kx+2，∴．
∴點M的軌跡方程為．
分析：（1）設直線l的方程為y=kx+b，由，得ky²-2py+2pb=0，再由根的判別式和根與系數的關系，可知直線l的斜率與p之間的關系．
（2）由題設知，y₁y₂=2（y₁+y₂）．則，得b=2．所以直線l的方程為y=kx+2．由此知直線l過定點（0，2）．
（3）分別過點A、M、B向y軸作垂線，垂足分別為A^‘，M’，B^‘，設M（x，y），由，可得
．所以．由此入手可求出點M的軌跡方程．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．