Question

設f（x）是R是的奇函數，且對?x∈R都有f（x+2）=f（x），又當x∈[0，1]時，f（x）=x²，那么x∈[2011，2013]時，f（x）的解析式為

f（x）=

(x-2012)2，x∈[2011，2012] -(x-2012)2，x∈(2012，2013]

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Answer 1

分析：由題意設x∈[-1，0]，利用已知的解析式求出f（-x）=x²，再由f（x）=-f（-x），求出x∈[0，1]時的解析式，最后再根據函數的周期性得出當x∈[2011，2013]時，f（x）的解析式即可．

解答：解：由題意可得：設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]；
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x²，
∴f（-x）=x²，
因為函數f（x）是奇函數，
所以f（-x）=-f（x），
所以x∈[-1，0]，時f（x）=-x²，
又對?x∈R都有f（x+2）=f（x），說明函數的周期T=2，
∴x∈[2011，2013]時，f（x）=f（x-2012）=

(x-2012)2，x∈[2011，2012] -(x-2012)2，x∈(2012，2013]

故答案為：f（x）=

(x-2012)2，x∈[2011，2012] -(x-2012)2，x∈(2012，2013]

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點評：本題的考點是利用函數的奇偶性求函數的解析式（即利用f（x）和f（-x）的關系），把x的范圍轉化到已知的范圍內求對應的解析式，注意要用分段函數表示．