Question

如圖，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·＝·.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知＝λ₁，＝λ₂，求λ₁＋λ₂的值．　　

Answer 1

【解析】　(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)，由·

＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)

＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡(jiǎn)得C：y²＝4x.

(2)設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1(m≠0)．設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，又M，聯(lián)立方程組

消去x，得y²－4my－4＝0，

Δ＝(－4m)²＋16＞0，

故

由＝λ₁，＝λ₂，得y₁＋＝－λ₁y₁，y₂＋

＝－λ₂y₂，整理，得

λ₁＝－1－，

λ₂＝－1－，

∴λ₁＋λ₂＝－2－

＝－2－·

＝－2－·＝0.