Question

已知函數f(x)=a-

1

2x+1

，（x∈R）．
（Ⅰ）求證：不論a為何實數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求f（x）在區間[1，5）上的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據函數的單調性的定義進行判定，任取x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，從而得到結論；
（II）根據奇函數的定義建立等式關系，解之即可求出a的值；
（III）根據函數在R上單調遞增，求出函數f（x）在區間[1，5）上的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為R，任取x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不論a為何實數f（x）總為增函數．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上為奇函數，
∴f（0）=0，即a-

1

20+1

=0．
解得 a=

1

2

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
由（Ⅰ） 知，f（x）為增函數，
∴f（x）在區間[1，5）上的最小值為f（1）．
∵f(1)=

1

2

-

1

3

=

1

6

，
∴f（x）在區間[1，5）上的最小值為

1

6

．（12分）

點評：本題主要考查了函數的單調性和奇偶性，以及函數的最值，屬于中檔題．