Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，點E是棱PB上的動點．
（Ⅰ）當PD∥平面EAC時，確定點E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角A-CE-P余弦值．

Answer 1

分析：（I）以線面平行為條件，根據線面平行的性質得到線線平行，根據平行線分線段成比例定理，得到比值．
（II）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，設出并求出平面的法向量，根據向量所成的角，得到二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

．又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形．
∴DC=

2

AC=

2

（

2

AB）=2AB．
連接BD，交AC于點M，則

DM

MB

=

DC

AB

=2
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，
即PE=2EB時，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，
如圖建立空間直角坐標系．
設PA=AB=BC=a，則A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，

2a

3

，）．
設

n1

=(x，y，1)，為平面EAC的一個法向量，
則

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

，
∴

ax+ay=0 2ay 3 + a 3 =0

，解得x=

1

2

，y=-

1

2

，
∴n

•

1

=（

1

2

，-

1

2

，1）．
設

n2

=（

•

x

，

•

y

，1）為平面PBC的一個法向量，
則

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，
又

BC

=（a，0，0），

BP

=（0，-a，a），
∴

ax′=0 -ay′+a=0

，解得x′=0，y′=1，
∴

n2

=（0，1，1）．∴cos

＜n1

，

n2

＞

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

6

∴二面角A-CE-P的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查空間向量求二面角以及直線與平面的位置關系的證明，本題的第一小題主要應用線面平行為條件，這種逆向思維的題目出現的比較多，本題第二小題解題的關鍵是建立坐標系，把難度比較大的二面角的求法，轉化成了數字的運算．降低了難度．