Question

設雙曲線C：的虛軸長為2，漸近線方程是y=，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）由題意，雙曲線虛軸長為2，漸近線方程是y=，
∴b=，b=a，
∴a=1 （3分）
故雙曲線C的方程為．（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=kx+m與雙曲線聯立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由題意3-k²≠0，且 （4分）
又由⊥知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以+k²×+km×+m²=0
化簡得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3 （6分）
故點P的軌跡方程是2y²-3x²=3（x≠±） （8分）
分析：（1）根據雙曲線虛軸長為2，漸近線方程是y=，可得幾何量的值，即可求得雙曲線C的方程；
（2）直線AB：y=kx+m與雙曲線聯立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韋達定理及⊥知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得點P的軌跡方程．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是直線與雙曲線方程聯立，利用韋達定理進行求解．