Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過(guò)該不等式來(lái)求參數(shù)的范圍．對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，與向量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān)，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更容易實(shí)現(xiàn)解題功能，所以在復(fù)習(xí)過(guò)程中要格外重視．

試題解析：（Ⅰ）由，所以，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，

故所求橢圓方程為；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得，顯然判別式大于0恒成立，設(shè)，的內(nèi)切圓半徑為，則有

，，

所以

而

所以解得,

因?yàn)樗�求圓與直線相切，所以半徑=，

所以所求圓的方程為.