Question

如圖 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形，其中A與A '重合，且BB'＜DD'＜CC'．
（1）證明AD'//平面BB'C'C，并指出四邊形AB'C'D’的形狀；
（2）如果四邊形中AB'C'D’中，，正方形的邊長為，
求平面ABCD與平面AB'C'D’所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

見解析.

第一問是涉及到線面平行的判定，以及四邊形的形狀問題的證明。
第二問關于二面角的求解，可以利用射影面積公式法，也可以利用法向量的夾角公式來解，通過合理的建立直角坐標系，表示向量，然后求解斜率的夾角，利用互為補角的關系求解得到二面角的大小。
解：（2）依題意，在Rt△ABB’中，，
在Rt△ADD’中，，
所以．………………8分

連結AC，AC’，如圖5－2，在Rt△ACC’中，．
所以，故．……10分
（法1）延長CB，C’B’相交于點F，
則，所以．
連結AF，則AF是平面ABCD與平面AB’C’D
的交線．
在平面AB’C’D
內作C’G，垂足為G，
連結．
因為平面AB’C’D，平面AB’C’D，所以AF．
從而平面CC’G，．
所以是平面ABCD與平面AB’C’D所成的一個銳二面角． …………12分
在Rt△AC’F中，，
在Rt△CC’G中，．
所以，
即平面ABCD與平面AB'C'D’所成的銳二面角的余弦值為．………14分

（法2）以c’為原點，c’a為x軸，c’b’為y軸，c’c為z軸，
建立空間直角坐標系（如圖5－3），
則平面AB’C’D的一個法向量．
設平面ABCD的一個法向量為，
因為

取z=1，則y=，x=，所以平面ABCD的一個法向量為．
（注：法向量不唯一，可以是與共線的任一非零向量）……………12分
．
所以平面ABCD與平面AB’C’D所成的銳二面角的余弦值為．…………………14分
（法3）由題意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四邊形AB’C’D，
所以平面ABCD與平面AB’C’D，所成的銳二面角的余弦值． …………12分
所以，
所以平面ABCD與平面AB’C’D所成的銳二面角的余弦值為．…………………14分