Question

【題目】已知拋物線C：x2=2py經過點（2，1）．

（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；

（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意結合點的坐標可得拋物線方程，進一步可得準線方程；

(Ⅱ)聯立準線方程和拋物線方程，結合韋達定理可得圓心坐標和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結論.

(Ⅰ)將點代入拋物線方程：可得：，

故拋物線方程為：，其準線方程為：.

(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點坐標為，

設直線方程為，與拋物線方程聯立可得：.

故：.

設，則，

直線的方程為，與聯立可得：，同理可得，

易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為：，圓的半徑為：，

且：，，

則圓的方程為：，

令整理可得：，解得：，

即以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.