Question

（本題滿分12分）設數列的前項和為，滿足，且。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）設數列的前項和為，且，證明：對一切正整數， 都有：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）

（Ⅲ）利用，推出。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵

∴       

   …………………………………4分

（Ⅱ）由得

檢驗知，滿足

∴

變形可得

∴數列是以1為首項，1為公差的等差 

解得…………………………………………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

代入得=……………8分

∵

∴

∴

∴

即

∴

  ∴…………………………………………………12分

考點：本題主要考查等差數列、等比數列的概念及其通項公式，數列的求和，不等式證明。

點評：典型題，本題首先由的故選，確定數列的通項公式是關鍵。不等式證明中運用了“放縮法”，本題較難。