Question

(本小題滿分12分)

如圖，直角坐標系中，一直角三角形，，、在軸上且關于原點對稱，在邊上，，的周長為12．若一雙曲線以、為焦點，且經過、兩點．(1) 求雙曲線的方程；

(2) 若一過點（為非零常數）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

解析:

：(1) 設雙曲線的方程為，

則．

由，得，即．

∴    （3分）

解之得，∴．∴雙曲線的方程為．（5分）

(2) 設在軸上存在定點，使．

設直線的方程為，．

由，得．

即    ①    （6分）

∵，，

∴．

即．   ②           （8分）

把①代入②，得     ③           （9分）

把代入并整理得

其中且，即且．  ．（10分）代入③，得  ，化簡得 ．當時，上式恒成立．

因此，在軸上存在定點，使．（12分）