Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

，其中a為常數．
（I）當a=1時，討論函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a=3時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）a=1時，f（x）=1-

2

2x+1

，可求得f（-x）+f（x）=0，從而可知函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用單調性的定義，設x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），整理后得f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，依題意，判斷符號即可知函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）a=3時，利用指數函數的性質與不等式的性質即可求得函數f（x）的值域．

解答：解：（I）a=1時，f（x）=1-

2

2x+1

，函數的定義域為R．
又f（-x）+f（x）=（1-

2

2-x+1

+（1-

2

2x+1

）
=2-

2•2x

(2-x+1)•2x

-

2

2x+1

=2-

2(2x+1)

2x+1

=0，
∴a=1時，函數f（x）為奇函數．
（Ⅱ）設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不論a為何實數f（x）總為增函數．
（Ⅲ）a=3時，∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴1＜3-

2

2x+1

＜3．
∴a=3時，函數f（x）的值域為（1，3）．

點評：本題考查指數函數的綜合應用，著重考查函數的奇偶性、單調性與最值的綜合應用，屬于難題．