Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁、A₂、B是橢圓的頂點（如圖），直線l與橢圓交于異于橢圓頂點的P、Q兩點，且l∥A₂B．若此橢圓的離心率為

3

2

，且|A2B|=

5

（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線A₁P和直線BQ的傾斜角分別為α、β，試判斷α+β是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的離心率求得a和c的關系，利用勾股定理求得a和b的關系式，最后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）由（I）可值A₂（2，0），B（0，1），利用l∥A₂B，求得直線l的斜率，設出直線l的方程，與橢圓的方程聯立，消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，然后分別表示出tanα和tanβ，令二者相加，化簡整理求得結果為0，進而可利用正切的兩角和公式求得tan（α+β）=0，判斷出α+β=π是定值．

解答：解：（I）由已知可得

c a = 3 2 a2+b2=5

，求得a=2，b=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1
（II）α+β是定值π．
由（I）A₂（2，0），B（0，1），且l∥A₂B，所以直線l的斜率k=-

1

2

，
設直線l的方程為y=-

1

2

x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x2 4 +y2=1 y=- 1 2 x+m

，x²-2mx+2m²-2=0
∴△=4m²-4（2m²-2）=8-4m²≥0，即-

2

≤m≤

2

x1+x2=2m x1x2=2m2-2

∵P、Q兩點不是橢圓的頂點∴α≠

π

2

、β≠

π

2

∴tanα=kA1P=

y1

x1+2

，tanβ=kBQ=

y2-1

x2

又因為y1=-

1

2

x1+m，y2=-

1

2

x2+mtanα+tanβ=

y1

x1+2

+

y2-1

x2

=

x2y1+(x1+2)(y2-1)

(x1+2)x2

=

x2y1+x1y2+2y2-x1-2

(x1+2)x2

=

x2(- 1 2 x1+m)+x1(- 1 2 x2+m)+2(- 1 2 x2+m)-x1-2

(x1+2)x2

=

(m-1)(x1+x2)-x1x2+2m-2

(x1+2)x2

=

(m-1)2m-(2m2-2)+2m-2

(x1+2)x2

=0
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=0，又α，β∈（0，π）
∴α+β∈（0，2π）∴α+β=π是定值

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．