Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=

1

2

x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個數．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關系，即可求出a的值；
（2）先令y₁=f（1+x²）-g（x）求出y₁’=0的值，再討論滿足y₁’=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，由函數y₁在R上各區間上的增減及極值情況，可得方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個數．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點為（1，f（1）），即（1，0）∴l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x∴g′（1）=1，切點為（1，

1

2

+a）
∴l：y-（

1

2

+a）=x-1，即y=x-

1

2

+a ②
比較①和②的系數得-

1

2

+a=-1，∴a=-

1

2

． （6分）
（2）由f（1+x²）-g（x）=k，即ln(1+x2)-

1

2

x2+

1

2

=k
設y₁=ln（1+x²）-

1

2

x2+

1

2

，y2=ky′1=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

．
令y'₁=1，解得x=0，-1，1．

由函數y₁在R上各區間上的增減及極值情況，可得
（1）當0＜k＜

1

2

時有兩個解；
（2）當k=

1

2

時有3個解；
（3）當

1

2

＜k＜ln2時有4個解
（4）當k=ln2時有2個解；
（5）當k＞ln2時無解．（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值和方程解的個數，同時考查了函數與方程、分類討論的思想，屬于基礎題．