Question

(理)如圖,與拋物線x²=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)E作y軸的垂線l₀.

(1)若以l₀為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰與直線l也相切,切點(diǎn)為T,求橢圓的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)若直線l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且p²=m,m∈,求(1)中切點(diǎn)T到直線PQ的距離的最小值.

(文)如圖,與拋物線x²=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)E作y軸的垂線l₀.

(1)若以l₀為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰好過點(diǎn)F,求橢圓的方程;

(2)若直線l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且=m,m∈,求直線PQ的斜率的取值范圍.

Answer 1

(理)解:拋物線x²=-4y中,

∵導(dǎo)數(shù)y′=-x,

∴直線l的斜率為y′|_x=-4=2.

故直線l的方程為y=2x+4.

∴點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為F(-2,0)、E(0,4).

(1)∵直線l₀的方程是y=4,

∴以l₀為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為=1(a＞b＞0).則=4.

由(4b²+a²)x²+16b²x+16b²-a²b²=0.

∵直線l與橢圓相切,

∴Δ=16²b⁴-4(4b²+a²)(16b²-a²b²)=0.

而=4,a²=b²+c²,

解得a²=4,b²=3.

∴所求橢圓方程為=1.

此時,x=

==-,

即切點(diǎn)T的坐標(biāo)為T(-,1).

(2)設(shè)l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點(diǎn)為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),顯然x₁≠x₂.

∵點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),

∴x₁+x₂=-8,y₁+y₂=-8.

由.

而k_l==2λ=3.

∴雙曲線的方程為6x²-3y²=8,

即=1.         

∵在x軸正方向上的投影為p,

∴p²=cos²∠EFO=.

設(shè)直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點(diǎn)P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄).

∴=x₃x₄+y₃y₄==5m.

而m∈［,］,

∴≤=x₃x₄+y₃y₄≤.

由(6-3k²)x²-24kx-56=0.

∵P、Q兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上,

∴6-3k²≠0.

∴

∴-＜k＜.

此時y₃y₄=(kx₃+4)(kx₄+4)=k²x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16.

∴x₃x₄+y₃y₄=(1+k²)x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16

=(1+k²)++16

=

=.             

∴≤≤.

∴40-20k²≤40-8k²

40-8k²≤80-40k²0≤k²≤.

又-＜k＜,

∴k²∈［0,］,即k∈［-,］.

而切點(diǎn)T到直線PQ的距離為

d=.

設(shè)t=,k∈［-,］,

則t′=.

令t′＞0k＜-或k＞2.

∴t=在［-,-］上單調(diào)遞增,在［-,-］上單調(diào)遞減.

又k=-時,d=2+;k=時,d=2-.

∴d_min=2-,即切點(diǎn)T到直線PQ的距離的最小值為2-.

(文)解:拋物線x²=-4y中,

∵導(dǎo)數(shù)y′=-x,

∴直線l的斜率為y′|_x=-4=2.

故直線l的方程為y=2x+4.

∴點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為F(-2,0)、F(0,4),

(此處也可用Δ=0求切線斜率,再寫出方程)

(1)∵直線l₀的方程是y=4,

∴以l₀為一條準(zhǔn)線,經(jīng)過點(diǎn)F,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為=1(a＞2).

則c=,其準(zhǔn)線方程為y==.

由=4,得=4,化簡得a⁴=16(a²-4),解得a²=8.

∴橢圓方程為=1.              

(2)設(shè)l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點(diǎn)為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),顯然x₁≠x₂.

∵點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),

∴x₁+x₂=-8,y₁+y₂=-8.

由.

∵k_l==2λ=3.

∴雙曲線的方程為6x²-3y²=8,

即=1.

∵在x軸正方向上的投影為p,

∴p²=cos²∠EFO=.

設(shè)直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點(diǎn)P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄).

∴=x₃x₄+y₃y₄==5m.

而m∈［,］,

∴≤=x₃x₄+y₃y₄≤.

由(6-3k²)x²-24kx-56=0.

∵P、Q兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上,

∴6-3k²≠0.

∴

∴-＜k＜.        

此時y₃y₄=(kx₃+4)(kx₄+4)=k²x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16.

∴x₃x₄+y₃y₄=(1+k²)x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16

=(1+k²)++16

==.                

∴≤≤.

∴

0≤k²≤.

又-＜k＜,∴k²∈［0, ］.

∴k∈［,］.

故所求直線PQ的斜率的取值范圍是［,］.