Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下列三個條件：
①對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
②對任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂）；
③y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，
則下列結(jié)論中，正確的是（　　）

• A、f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
• B、f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
• C、f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
• D、f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先把函數(shù)的性質(zhì)研究清楚，由三個條件知函數(shù)周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，觀察四個選項發(fā)現(xiàn)自變量都不在已知的單調(diào)區(qū)間內(nèi)故應用相關(guān)的性質(zhì)將其值用區(qū)間[0，2]上的函數(shù)值表示出，以方便利用單調(diào)性比較大小．

解答： 解：由①f（x+4）=f（x）知函數(shù)的周期是4；
由②知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
由③y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，知函數(shù)的對稱軸為x=2；
∴f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（4.5）=f（0.5），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5）
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
故選：D．

點評：本題考點是函數(shù)單調(diào)性的應用，綜合考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的對稱性以及函數(shù)圖象的平移規(guī)律，涉及到了函數(shù)的三個主要性質(zhì)，同時考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．